1.证明可导是可微的充要条件
笔记来源于武忠祥全程班 微分（思想：线性增量
d
y
dy
dy近似非线性增量
Δ
y
\Delta y
Δy）
d
y
≈
Δ
y
dy \approx \Delta y
dy≈Δy
导数定义
极限与无穷小的关系
由导数定义和极限与无穷小的关系可得
上式左右同乘
Δ
x
\Delta x
Δx
至此由可导推出了可微
2.连续是可导的充分条件（可导必连续、连续不一定可导）
下图来源于本人博客：Chapter5：连续性和可导性（两种类型的光滑性）
3.关于函数在
x
0
x_0
x0某邻域可导
例子： 原函数 函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
=
0
x_0=0
x0=0处可导（函数图像光滑的）
导函数 1.导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
x
0
=
0
x_0=0
x0=0处不连续（第二类间断点） 2.导函数在0处的极限不存在
lim
x
→
0
f
′
(
x
)
不存在
\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\text{不存在}
x→0limf′(x)不存在 例子： 设
f
(
x
)
f(x)
f(x)二阶可导
f
(
0
)
=
0
，
f
′
(
0
)
=
1
，
f
′
′
(
0
)
=
2
f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2
f(0)=0，f′(0)=1，f′′(0)=2
结论： 如果告诉
n
n
n 阶可导，使用洛必达最多能洛到
n
−
1
n-1
n−1 阶 如果告诉
n
n
n 阶连续可导，使用洛必达最多能洛到
n
n
n 阶